Какой цифрой заканчивается десятичная запись числа

74^n + 74^ (n+1) + 74^ (2*n)

Рассмотрим два случая: 1) n - четное число; 2) n - нечетное число

1) n - четное = > n=2k, где k - натуральное число

74^ (2k) + 74^ (2k+1) + 74^ (4k)

Степень первого слагаемого четно при любом значении k

Степени второго слагаемого нечетно при любом значении k

Степень третьего слагаемого четно при любом значении k

Так как нас интересует последняя цифра, то будем рассматривать степени числа 4

4^1=4

4^2=16

4^3=64

4^4=256

4^5=1024

4^6=4096

Видим закономерность, что каждую четную степень на конце мы имеем цифру 6 и что каждую нечетную степень на конце мы имеем цифру 4

Следовательно в выражении 74^ (2k) + 74^ (2k+1) + 74^ (4k) первое слагаемое заканчивается на 6, второе слагаемое заканчивается на 4 и третье слагаемое заканчивается на 6. 6+4+6=16 - последняя цифра 6 = > последняя цифра в выражении 74^ (2k) + 74^ (2k+1) + 74^ (4k) будет 6 при любом значении k

2) n - нечетное = > n=2k-1, где k - натуральное число

74^ (2k-1) + 74^ (2k) + 74^ (4k-2)

Степень первого слагаемого нечетно при любом значении k

Степени второго слагаемого четно при любом значении k

Степень третьего слагаемого четно при любом значении k

Аналогичными рассуждениями, мы приходим к тому, что первое слагаемое заканчивается на 4, второе слагаемое заканчивается на 6 и третье слагаемое заканчивается на 6. 4+6+6=16 = > последняя цифра в выражении 74^ (2k) + 74^ (2k+1) + 74^ (4k) будет 6 при любом значении k

=> 74^n + 74^ (n+1) + 74^ (2n) будет иметь на конце 6 при любом значении n.

Ответ: 6