1)

найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5.

2)

решите уравнение: x^4-4x^3+8x+3=0

1. Такое число x, увеличенное на 1, делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6.

Делимость на 2 следует из делимости на 4, об этом беспокоиться не надо. Делимость на 6 следует из делимости на 2 (хотите - не 4) и на 3.

Поэтому, если x+1 делится на 3, 4, 5, то оно делится и на 2, и на 6.

Самое маленькое натуральное число, делящееся на 3, 4 и 5 - это

3·4·5=60. Значит x=59

Ответ: 59

2, Угадываем корень (-1) ; делим наш многочлен на (x+1), получаем

x^4-4x^3+8x+3 = (x+1) (x^3-5x^2+5x+3).

Угадываем корень 3 многочлена x^3-5x^2+5x+3, делим на (x-3)

x^3-5x^2+5x+3 = (x-3) (x^2 - 2x - 1) ;

ищем корни x^2-2x-1; x=1 + √2 и x=1-√2

Ответ: - 1; 3; 1+√2; 1-√2

1.

Наименьшее число, которое без остатка делится на 2; 3; 4; 5; 6 будет равно наименьшему общему кратному этих чисел:

НОК (2; 3; 4; 5; 6) = 2 * 3 * 2 * 5 = 60.

Т. к. остаток для каждого делителя меньше на 1, значит, чтобы получить искомое число нужно из числа 60 тоже вычесть 1.

60 - 1 = 59

Проверим число 59.

59:2 = 29 (ост. 1)

59:3 = 19 (ост. 2)

59:4 = 14 (ост. 3)

59:5 = 11 (ост. 4)

59:6 = 9 (ост. 5)

Ответ: 59

2.

х⁴ - 4 х³ + 8 х + 3 = 0

(х ⁴ - 4 х³ + 4 х²) - 4 х² + 8 х + 3 = 0

В первых скобках квадрат разности

(х ² - 2 х) ² - (4 х² - 8 х) + 3 = 0

(х² - 2 х) ² - 4 (х² - 2 х) + 3 = 0

Применим подстановку

(х² - 2 х) = t

получим уравнение

t² - 4t + 3 = 0

D = b² - 4ac

D = 16 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4

√D = √4 = 2

t ₁ = (4 + 2) / 2 = 6/2 = 3

t₂ = ((4 - 2) / 2 = 2/2 = 1

Делаем обратную замену (х² - 2 х) = t

Таким образом, получаем 2 уравнения: х ² - 2 х = 3. и х² - 2 х = 1

Решаем первое

х² - 2 х - 3 = 0

D = b² - 4ac

D = 4 - 4*1 * (-3) = 4 + 12 = 16

√D = √16 = 4

x₁ = (2 - 4) / 2 = - 2/2 = - 1

x₂ = (2 + 4) / 2 = 6/2 = 3

Решаем второе

х² - 2 х - 1 = 0

D = b² - 4ac

D = 4 - 4*1 * (-1) = 4 + 4 = 8

√D = √8 = 2√2

x₃ = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2

x₄ = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2

Ответ: - 1; 1 - √2; 1 + √2; 3