Для наборов sin5φ, sin10φ, sin15φ и cos5φ, cos10φ, cos15φ найдите наименьшее положительное значение φ, при котором наборы совпадают. Представьте φφ в радианах в виде несократимой дроби φ=aπ/b с натуральным знаменателем. В ответе запишите знаменатель b.

Question

Алгебра

Германик

21 января, 22:03

Для наборов sin5φ, sin10φ, sin15φ и cos5φ, cos10φ, cos15φ найдите наименьшее положительное значение φ, при котором наборы совпадают. Представьте φφ в радианах в виде несократимой дроби φ=aπ/b с натуральным знаменателем. В ответе запишите знаменатель b.

+3

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Ната · Answer 1

Пусть 15φ∈ (0; π/2), т. е. φ∈ (0; π/30). Тогда 5φ<10φ<15φ и, т. к. на интервале (0; π/2) функция sin (x) возрастает, а cos (x) - убывает, то sin (5φ) cos (15φ). Значит, чтобы эти наборы совпадали, должны одновременно выполняться три условия:

sin (5φ) = cos (15φ),

sin (10φ) = cos (10φ) и

sin (15φ) = cos (5φ).

Решаем уравнение из 2-го условия и, учитывая, что 10φ∈ (0; π/3), получаем 10φ=π/4, т. е. φ=π/40, 5φ=π/8, 15φ=3π/8. Подставляя это в 1-ое и 3-е условия, получим верные равенства:

sin (5φ) = sin (π/8) = cos (π/2-π/8) = cos (3π/8) = cos (15φ) и

sin (15φ) = sin (3π/8) = cos (π/2-3π/8) = cos (π/8) = cos (5φ).

Итак, φ=π/40, а т. к. это единственное число из интервала (0; π/30), удовлетворяющее всем трем условиям, то оно и есть минимальное, т. е. в ответ идет 40.