Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 124, а их произведение равно 8000. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию b (n) : b1; b2; b3 ...

Сумма первых трёх членов прогрессии вычислим по формуле:

S (3) = 124

S (3) = b1 (q³-1) / (q-1) = 124

Далее выразим каждый член через первый и знаменатель:

b2 = b1q

b3 = b1q²

Отсюда, b1 * b1q * b1q² = b1³q³ = 8000

Оба условия выполняются одновременно. Составим и решим систему уравнений:

b1 (q³-1) / (q-1) = 124

b1³q³ = 8000

Поработаем с первым выражением. Заметим, что в числителе стоит разность кубов q b 1:

b1 (q-1) (q² + q + 1) / (q-1) = 124

b1 (q² + q + 1) = 124

Система будет в таком теперь виде

b1 (q² + q + 1) = 124

b1³q³ = 8000

Попробуем решить, выразив из первого уравнения b1:

b1 = 124 / (q² + q + 1)