Найдите наименьшее значение фунции y=x^3+-8x^2+17 на отрезке [-3; 3]

Подробно, если можно

1. Определяем значения функции на границах отрезка:

f (-3) = (-3) ³ - 8 * (-3) ² + 17 = - 27-72+17 = - 82

f (3) = 3³ - 8 * (3) ² + 17 = 27-72+17 = - 28

Наименьшее из них - - 82 при x=-3.

2. Определим точки максимума и минимума (экстремума) функции. Для этого вычислим первую производную и найдем ее корни:

f' (x) = 3x²-16x = x (3x-16)

Корни: x=0, x=16/3.

При этом на промежутке от - ∞ до 0 первая производная положительна, на отрезке между корнями - отрицательна, и от 16/3 до + ∞ - вновь положительна.

Это означает, что на отрезке между корней функция f (x) убывающая, а на лучах вне отрезка [0; 16/3] - возрастающая.

При этом при x=0 функция f (x) имеет локальный максимум (f (x) = 17), а при x=16/3 - локальный минимум.

Но корень x=16/3=5 1/3 > 3 находится вне отрезка [-3; 3], поэтому не влияет на наименьшее значение функции на заданном отрезке.

На заданном отрезке функция f (x) возрастает на промежутке [-3; 0] и убывает на промежутке [0; 3]. Значит, наименьшее значение она может принимать только на границах отрезка.

Ответ: наименьшее значение функция принимает при x=-3. Значение - - 82.