X dy = (√ (x^2+y^2) + y) dx

Воспользуемся свойствами гиперболического синуса sh (v) = (eˣ-e⁻ˣ) / 2 и гиперболического косинуса сh (v) = (eˣ+e⁻ˣ) / 2.

Сделаем замену y=x·sh (v). Тогда в силу того, что d (sh (v)) = ch (v) dv. получим dy=sh (v) dx+x·ch (v) dv.

Т. к. 1+sh²v=ch²v, то

√ (х²+y²) = √ (х²+х²sh² (v)) = x√ (1+sh² (v)) = x·ch (v), т. е.

x·sh (v) dx+x²·ch (v) dv=х·ch (v) dx+х·sh (v) dx

xdv=dx

∫dv=∫dx/x

v=ln|x|+c. Итак, ответ у=х·sh (ln|x|+c).