Найдите максимум и минимум функции y=f (x) на указанном отрезке. (5.10-5.11)

5.10

A)

Б)

5.11

A)

Б)

Алгоритм поиска.

Ищем точки экстремума по условию y'=0. Определяем, является ли точка минимумом или максимумом по критерию изменения знака y' в данной точке: если знак y' изменяется с "+" на "-", то функция имеет максимум; если с "-" на "+" - минимум; если не изменяется - не является экстремумом.

Наибольшее значение на отрезке определяется как максимальное значение среди всех максимумов функции на отрезке и значений функции на концах отрезка.

Наименьшее значение функции определяется как минимальное значение среди всех минимумов на отрезке и значений функции на концах отрезка.

5.10

a) y = x³ - 3x²; отрезок [-1; 3]

y (-1) = (-1) ³-3 (-1) ² = - 1-3 = - 4

y (3) = 3³-3*3² = 0

y'=3x²-6x=3x (x-2). Точки, подозрительные на экстремум: x=0; x=2. При x∈ (0; 2) y'0 (функция y возрастает (y↑)).

y (0) = 0

y (2) = 2³-3*2² = 8-12 = - 4

Слева от точки (0; 0) функция y возрастающая, справа - убывающая. Значит, точка (0; 0) является локальным максимумом.

Слева от точки (2; -4) функция y убывающая, справа - возрастающая. Значит, точка (2; -4) является локальным минимумом.

Наибольшее значение функции y на отрезке [-1; 3] равно max (y (-1), y (0), y (3)) = max (-4,0,0) = 0 (достигается в точках x=0 и x=3.

Наименьшее значение функции y на отрезке [-1; 3] равно min (y (-1), y (2), y (3)) = min (-4,-4,0) = - 4 (достигается в точках x=-1 и x=2.

В остальных решениях я буду писать кратко.

б) y = 2x³ - 6x² + 9; отрезок [-2; 2]

y (-2) = 2 (-2) ³ - 6 (-2) ² + 9 = - 16 - 24 + 9 = - 31

y (2) = 2 (2) ³ - 6 (2) ² + 9 = 16 - 24 + 9 = 1

y' = 2*3x² - 6*2x = 6x (x-2)

y'=0 ⇒ x∈{0; 2}

x∈ (0; 2) ⇒ y'<0 ⇒ y↓

x∉[0; 2] ⇒ y'>0 ⇒ y↑

y (0) = 9

(0; 9) : y слева ↑, справа ↓ ⇒ (0; 9) - локальный максимум

(2; 1) : y слева ↓, справа ↑ ⇒ (2; 1) - локальный минимум

max (y (-2), y (0)) = max (-31,9) = 9 ⇒ x=0

min (y (-2), y (2)) = min (-31,1) = - 31 ⇒ x=-2

5.11

а) y = 2x³ - x²; отрезок [-1; 1]

y (-1) = 2 (-1) ³ - (-1) ² = - 2 - 1 = - 3

y (1) = 2 (1) ³ - (1) ² = 2 - 1 = 1

y' = 2*3x² - 2x = 2x (3x-1)

y'=0 ⇒ x∈{0; 1/3}

x∈ (0; 1/3) ⇒ y'<0 ⇒ y↓

x∉[0; 1/3] ⇒ y'>0 ⇒ y↑

y (0) = 0

y (1/3) = 2 (1/3) ³ - (1/3) ² = 2/27 - 1/9 = - 1/27

(0; 0) : слева y↑, справа y↓ ⇒ (0; 0) - локальный максимум

(1/3; -1/27) : слева н↓, справа y↑ ⇒ (1/3; -1/27) - локальный минимум

max (y (-1), y (0), y (1)) = max (-3,0,1) = 1 ⇒ x=1

min (y (-1), y (1/3), y (1)) = min (-3,-1/27,1) = - 3 ⇒ x=-1

б) y = 2x³ + 6x² + 8; отрезок [-3; 2]

y (-3) = 2 (-3) ³ + 6 (-3) ² + 8 = - 54 + 54 + 8 = 8

y (2) = 2 (2) ³ + 6 (2) ² + 8 = 16 + 24 + 8 = 48

y' = 2*3x² + 6*2x = 6x (x+2)

y'=0 ⇒ x∈{-2; 0}

x∈ (-2; 0) ⇒ y'<0 ⇒ y↓

x∉[-2; 0] ⇒ y'>0 ⇒ y↑

y (-2) = 2 (-2) ³ + 6 (-2) ² + 8 = - 16 + 24 + 8 = 16

y (0) = 8

(-2; 16) : слева y↑, справа y↓ ⇒ (-2; 16) - локальный максимум

(0; 8) : слева y↓, справа y↑ ⇒ (0; 8) - локальный минимум

max (y (-3), y (-2), y (2)) = max (8,16,48) = 48 ⇒ x=2

min (y (-3), y (0), y (2)) = min (8,8,48) = 8 ⇒ x∈{-3; 0}