Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Доказать, что последовательность площадей этих квадратов является геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого квадрата.

Пусть сторона квадрата равна а, тогда половина его стороны равна а/2, а длина отрезка соединяющего его стороны равна (а/2) / (√2/2) = а/√2.

А площади этих квадратов будут а² и а²/2

И так всегда. То есть каждый следующий квадрат будет меньше предидущего в 2 раза. То есть это геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.

b₁=4 см, тогда b₇=4 * 1/2⁷=2²/2⁷=1/2⁵=1/32 = 0,01325 см

Ответ: площадь 7 квадрата 1/32 см или 0,1325 мм.