Исследование функции y=21-x^2/7x+9 с помощью производной и построить график

Решение:

1) область определения (-∞; ∞)

2) множество значений функции (-∞; ∞)

3) Проверим является ли функция четной или не четной:

y (x) = 1/6x³-x²+1

y (-x) = - 1/6x³-x²+1, Так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х), то функция не является ни четной ни не четная.

4) Найдем нули функции:

при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0; 1)

при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0

уравнение не имеет рациональных корней.

5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума:

y'=0.5x²-2x; y'=0

0.5x²-2x=0

0.5x (x-4) = 0

x1=0

x2=4

Так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.

Так как на промежуткe (0; 4) y'< 0, то на этом промежутке функция убывает.

Так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4) = 64/6-16+1=-13/3

Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0) = 1

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:

y"=x-2; y"=0

x-2=0

x=2

Tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх

Так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз.

Точка х=2; является точкой перегиба.

у (2) = 8/6-4+1=-5/3

7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^

а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот.

Проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b:

k=lim (прих->∞) (y (x) / x) = lim (прих->∞) (1/6x²-x+1/x) = ∞

Так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет