Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2 х, у=0, х=1, х=3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями функций у = х^2, у = 0 и х = 2 построим сначала графики этих функций. График функции у = 0 - прямая, которая задаёт ось ОХ; график функции х = 2 - прямая, параллельная оси ОУ и пересекающая ось ОХ в точке х = 2. График функции у = х^2 - парабола, построена поточечно путём подбора значений координаты х и вычислением значения функции у в каждой такой точке. То есть:

1) х = - 4, у = (-4) ^2 = 16, на графике откладываем точки х = - 4 и у = 16;

2) х = - 3, у = (-3) ^2 = 9, на графике откладываем точки х = - 3 и у = 9;

3) х = - 2, у = (-2) ^2 = 4, на графике откладываем точки х = - 2 и у = 4;

4) х = - 1, у = (-1) ^2 = 1, на графике откладываем точки х = - 1 и у = 1;

5) х = 0, у = 0, на графике откладываем точки х = 0 и у = 0;

6) х = 4, у = 4^2 = 16, на графике откладываем точки х = 4 и у = 16;

7) х = 3, у = 3^2 = 9, на графике откладываем точки х = 3 и у = 9;

8) х = 2, у = 2^2 = 4, на графике откладываем точки х = 2 и у = 4;

9) х = 1, у = 1^2 = 1, на графике откладываем точки х = 1 и у = 0.

Заштрихованная на графике область является фигурой, площадь которой необходимо вычислить (площадь криволинейной трапеции). Вычисляется она по формуле определенного интеграла S = ∫f (x) dx - g (x) dx (верхний предел b, нижний предел a). Найдём верхний и нижний пределы интеграла. Для этого воспользуемся построенным графиком. Определим, на каком промежутке функция у = х^2 находится выше оси ОХ (так как значение площади не может быть числом отрицательным). Это отрезок [0; 2], значит верхним пределом интеграла будет два (b = 2), нижним ноль (а = 0).

Вычислим определенный интеграл функции у = х^2 с пределами 2 и 0, значение которого и будет равно значению площади:

S = ∫ (х^2) dx (верхний предел 2, нижний 0).

Интегрируем с помощью формулы интегрирования:

∫х^ n dx = x^ (n+1) / n+1,

и получаем выражение х^3/3.

Далее воспользуемся формулой Ньютона - Лейбница и получим значение площади, равное 8/3 или ~ 2,67 кв. ед.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2, х = 2, у = 0 равна 8/3 или ~ 2,67 кв. единиц.