Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f (x), касательной к этому графику в точке xо и прямой x=0.

а) y=0,5x (в квадрате) + 2

xо = - 2

б) y=x (в кубе) + 2

xо=1

фигура расположена в правой полуплоскости

Y=0,5x²+2 x=0 x₀=-2

yk=y (x₀) + y' (x₀) * (x-x₀)

y (-2) = 0,5 * (-2) ²+2=0,5*4+2=2+2=4

y' (-2) = 0,5*2*x=x=-2 ⇒

yk=4-2 * (x - (-2) = 4-2 * (x+2) = 4-2x-4=-2x

0,5x²+2=-2x

0,5x²+2x+2=0 |**2

x²+4x+4=0

(x+2) ²=0

x+2=0

x=-2

S=₋₂∫⁰ (0,5x²+2 - (-2x)) dx=₋₂∫⁰ ((1/2) x²+2+2x) dx = (x³/6+x²+2x) ₋₂|⁰=

=0 - ((-2) ³/6 + (-2) ²+2 * (-2)) = - (-8/6+4-4) = - (-4/3) = 4/3.

Ответ: S≈1,333 кв. ед.

y=x³+2 x=0 x₀=1

y (1) = 1³+2=1+2=3

y' (1) = 3x²=3*1²=3 ⇒

yk=3+3 * (x-1) = 3+3x-3=3x

yk=3x

x³+2=3x

x³-3x+2=0

x³-x²+x²-3x+2=0

x² (x-1) + (x-1) (x-2) = 0

(x-1) (x²+x-2) = 0

x-1=0

x₁=1 ∉ по условию.

x²+x-2=0 D=9 √√D=3

x₂=-2 ∈ x₃=1 ∉∉ по условию. ⇒

S=₋₂∫⁰ (x³+2-3x) = (x⁴/4-3x²/2+2x) ₋₂|⁰ = (0 - ((-2) ⁴/4-3 * (-2) ²/2+2 * (-2) =

= - (16/4-12/2-4) = - (4-6-4) = - (-6) = 6.

Ответ: S=6 кв. ед.