Докажите по индукции что для любого натурального n справедливо равенство :

Проверяем для 1. 1=1². предположим, что верно для н-1. проверяем для н. для н-1 1³+2³ + ... (н-1) ³ = ((н-1) н) ²/4

проверим для Н.

1³+2³ + ... (н-1) ³ + н³ = ((н-1) н) ²/4 + н³ = ((н²-н) ²+4 н³) / 4 = (н⁴-2 н³+н²+4 н³) / 4=

(н²+н) ²/4 = (н (н+1) / 2) ² то есть из предположения, что формула верна для н-1 членов вытекает равенстов ее для н членов. Значит формула доказана!