Доказать, что для любых неотрицательных чисел a, b и c справедливо неравенство 4a+6b+7c>=3√ab+5√ac+9√bc

Воспользуемся неравенством между средними Арифм и Геометрич

a1+a2>=2*√ (a1*a2)

положим что x1, x2, x3, y1, y2, y3 коэффициенты при разложении, то есть

x1a+y1b>=2*√ (x1y1) * √ (ab)

x2b+y2c>=2*√ (x2y2) * √ (bc)

x3a+y3c>=2*√ (x3y3) * √ (ac)

Тогда

{x1+x3=4

{y1+x2=6

{y2+y3=7

{x1*y1=9/4

{x3*y3=25/4

{x2*y2=81/4

Откуда решения

x1=3/2

x3=5/2

y1=3/2

x2=9/2

y2=9/2

y3=5/2

То есть

3a/2+3b/2 > = 3√ (ab)

9b/2+9c/2 > = 9√ (bc)

5c/2+5a/2 > = 5√ (ac)

складывая

4a+6b+7c > = 3*√ab+5√ac+9√bc