Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=2 х^3+3 х^2+2 на отрезке [-2; 0]

Дана функция у=2 х³ + 3 х ² + 2.

Её производная равна:

y' = 6x ² + 6x = 6x (x + 1).

Приравняв производную нулю, находим 2 критические точки:

х = 0 и х = - 1.

Тем самым мы определили 3 промежутка монотонности функции:

(-∞; - 1), (-1; 0) и (0; + ∞).

Находим знаки производной на этих промежутках.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = - 2 - 1 - 0,5 0 1

y' = 12 0 - 1,5 0 12.

Как видим, максимум функции в точке х = - 1, минимум в точке х = 0.

Найдём значения функции в этих точках и на границах заданного промежутка.

x = - 2 - 1 - 0,5 0

y = - 2 3 2,5 2.

Ответ: наибольшее и наименьшее значение функции у=2 х^3+3 х^2+2 на отрезке [-2; 0] равны 3 и - 2.