Найти х+х^-1 если x^3+x^-3=-18

task/29820372 Найти x + x⁻¹, если x³+x⁻³ = - 18

Решение x + x⁻¹ = x+1/x; x³+x⁻³ = x³ + 1 / x³ Из формулы

(a+b) ³=a³+3a²b + 3ab²+b³ = a³+b³+3ab (a+b) ⇒ (a+b) ³ - 3ab (a+b) = a³+b³

При a = x; b = 1/x получается (x+1/x) ³ - 3 * (x+1/x) = - 18 замена t = x + 1 / x

t³-3t + 18 = 0⇔t³+27-3t - 9 = 0 ⇔ (t³+3³) - 3 (t + 3) = 0⇔ (t+3) (t²-3t + 9) - 3 (t + 3) = 0⇔

(t+3) (t²-3t + 6 = 0⇔ [ t + 3 = 0; t²-3t + 6 = 0. ⇒ t = - 3. (уравнение t²-3t + 6 = 0 не имеет действительных корней, дискриминант D = 3² - 4*1*6 = - 15 < 0)

x + 1 / x = - 3

ответ: x + 1 / x = - 3.