Двум рабочим было поручено задание; второй рабочий приступил к нему на 1 ч позже первого. Через 3 ч после того как первый приступил к заданию им осталось выполнить 0,45 всего задания. По окончанию работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего задания. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить все задания?

1 - объем всей работы

х - производительность первого (т. е. объем работы за 1 час) у - производительность второго

3 х - объем работы, которую сделал первый за 3 часа

(3-1) у = 2 у - объем работы, которую сделал второй за 2 часа

1 - 0,45 = 0,55 - объем работы, которую сделали первый и второй вместе.

Поучаем первое уравнение:

3 х + 2 у = 0,55

В условии сказано, что по окончанию работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего задания, т. е. 1/2 или 0,5.

0,5 / х - всё время, затраченное первым рабочим на выполнение задания

0,5 / у - всё время, затраченное вторым рабочим на выполнение задания

По условию:

0,5 / х >0,5/y на 1 час

Поучаем второе уравнение:

0,5 / х - 0,5/y = 1

Решаем систему:

{3 х + 2 у = 0,55

{0,5 / х - 0,5/y = 1

ОДЗ: x>0; y>0

Второе уравнение умножим на 2xy.

{3 х + 2 у = 0,55

{2xy·0,5 / х - 2xy·0,5/y = 1·2xy

{3 х + 2 у = 0,55

{y - x = 2xy

Из второго уравнения выразим y.

y-2xy = x

y (1-2x) = x

y = x / (1-2x)

Подставим в первое

3x + 2x / (1-2x) = 0,55

При x≠0,5

3x· (1-2x) + 2x = 0,55· (1-2x)

3x-6x²+2x-0,55+1,1x=0

-6x² + 6,1x - 0,55 = 0

6x² - 6,1x + 0,55 = 0

D = b²-4ac

D = 37,21 - 4·6·0,55 = 24,01

√D = √24,01 = 4,9

x₁ = (6,1 - 4,9) / 12 = 1,2/12=0,1

x₁ = 0,1

x₂ = (6,1 + 4,9) / 12 = 11/12=11/12

x₂ = 11/12

При x₁ = 0,1 находим у₁

y₁ = 0,1 / (1-2·0,1) = 0,1/0,8 = 1/8

Получаем х₁ = 0,1 и у₁ = 1/8 = 0,125

При x₂ = 11/12 находим у₂

y₂ = 11/12 : (1-2·11/12) = 11/12 : (-10/12) = 11/12 · (- 12/10) = - 11/10 = - 1,1

у₂ - 1,1 - отрицательное противоречит ОДЗ.

Итак мы нашли

0,1 - производительность первого (т. е. объем работы за 1 час) 0,125 - производительность второго.

И, наконец, 1 - объем всей работы делим на производительность каждого и получаем искомое время каждого.

1 : 0,1 = 10 ч - за это время первый, работая отдельно, может выполнить все задание.

1 : 0,125 = 8 ч - за это время второй, работая отдельно, может выполнить все задание.

Ответ: 10 ч; 8 ч