Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 22 даёт в остатке 14, а при делении на 17 даёт в остатке 9.

Пусть искомое число x, тогда x = 22*p + 14 и x = 17*q + 9; p и q неотрицательные целые числа.

22*p + 14 = 17*q + 9;

22*p - 17*q + 5 = 0; решаем последнее ур-е, как ур-е в целых числах, частным решение является (-1; - 1)

22 * (-1) - 17 * (-1) + 5 = 0; вычитаем последние 2 равенства:

22 * (p+1) - 17 * (q+1) = 0;

22 * (p+1) = 17 * (q+1) ;

т. к. 22 и 17 взаимно просты, то (q+1) делится нацело на 22, а (p+1) делится нацело на 17;

q+1 = 22*A; p+1 = 17*B;

22*17B = 17*22*A; A=B = t;

q = 22*t - 1;

p = 17*t - 1;

Наименьшее неотрицателные значения p и q, достигаются при t=1;

q=21;

p=16;

x = 22*16 + 14=366;

x = 17*21 + 9=366;

Пусть это чилос х.

Тогад по первому условию:

х=13k+10, где k - какое то натуральное число,

и по второму условию:

х=8l+2, где l - какое то натуральное число.

Для начала сделаем оценку:

х<1000

13k+10<1000

13k<990

k<77

Теперь приравниваем те два равентва:

13k+10=8l+2

13k+8=8l

13k=8 (l-1)

Правая часть равенства делится на 8, значит, и левая тоже. Т. к. 13 не кратно 8, то k делится на 8.

Самое большое число k<77 и кратное 8, это k=72

Подставляем в равентсво и получаем, что х=946

Проверкой убеждаемся, что оно подходит.