Докажите что если abcd = 1 то (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) > = 16

Это неверно. Пусть а=b=c=d=-1

Тогда предложенное произведение равно 0 и никак не больше 16.

А вот, если все положительные, то другое дело.

Раскрыв скобки, мы обнаружим члены:

abcd+1 = 2

ad+ac+ab+cd+cb+db. больше либо равно 6

abc+abd+adc+bdc+d+c+a больше либо равно 8.

Просуммировав получим требуемое неравенство.

Утверждения про больше либо равно 6 и 8 доказываются на основе известного неравенства при х больше 0 (х+1/х) больше либо равно 2 (доказывается элементарно: обе части умножаются на х и получается (х-1) в квадрате больше либо равна 0)

Чтобы свести задачу к этому неравенству, группируем суммы:

(abc+d) + (abd+c) + (adc+b) + (bdc+a) больше либо равно 8

и (ad+св) + (ac+db) + (ab+cd) больше либо равно 6.

Равенство достигается, очевидно, когда все переменные равны 1.