Помогите с уравнением 4sinx+5cosx=4

Решение

4sinx+5cosx=4

Применяя формулы:

sinx = sin2 * (x/2) ; cosx = cos2 * (x/2)

sin ²x/2 + cos²x/2 = 1

Получим уравнение:

4 * sin2 * (x/2) + 5*cos2 * (x/2) = 4 * (sin ²x/2 + cos²x/2)

4 * (2sinx/2 * cosx/2) + 5 * (cos ²x/2 - sin²x/2) = 4 * (sin ²x/2 + cos²x/2)

8 * sinx/2 * cosx/2 + 5*cos²x/2 - 5*sin²x/2 - 4sin ²x/2 - 4cos²x/2 = 0

- 9sin ²x/2 + 8sinx/2 * cosx/2 + cos²x/2 = 0 делим на (- cos²x/2 ≠ 0)

9tg²x/2 - 8tgx - 1 = 0

tgx = t

9t² - 8t - 1 = 0

D = 64 + 4*9*1 = 100

t₁ = (8 - 10) / 18 = - 2/18 = - 1/9

t₂ = (8 + 10) / 18 = 18/18 = 1

tgx = - 1/9

x₁ = arctg (- 1/9) + πk, k ∈ Z

x₁ = - arctg (1/9) + πk, k ∈ Z

tgx = 1

x₂ = π/4 + πn, n ∈ Z