Докажите, что при любом целом значении n значение выражения:

а) 3n^2-n+2 кратно 2

б) 2n^3+4n-9 кратно 3

а) 3n²-n+2=n (3n-1) + 2. Если n четное, то и n (3n-1) тоже четное (произведение четного числа на любое даёт четное число). Тогда значение выражения четное. Значит оно делится на 2.

Если n нечётное, то 3n-1 четное (как разность чисел одной четности). Значит n (3n-1) тоже четное и n (3n-1) + 2 делится на 2.

б) 2n³+4n-9=2n (n²+2) - 9, 9≡0 (mod 3)

1) n≡0 (mod 3) → n²≡0 (mod 3) → n²+2≡2 (mod 3) → 2n (n²+2) ≡0 (mod 3) → выражение кратно 3 (как сумма выражений, кратных 3)

2) n≡1 (mod 3) → n²≡1 (mod 3) → n²+2≡0 (mod 3) → 2n (n²+2) ≡0 (mod 3) → выражение кратно 3 (аналогично)

3) n≡2 (mod 3) → n²≡4 (mod 3) → n²≡1 (mod 3) → n²+2≡0 (mod 3) → 2n (n²+2) ≡0 (mod 3) → выражение кратно 3 (аналогично)

Использовались свойства:

Если а≡b (mod c) и q≡w (mod c), то aq≡wb (mod c)

Если a≡0 (mod c), то ad≡0 (mod c), где d - любое

Если a≡b (mod c), то a≡b-c (mod c)

Сравнение чисел по модулю