Найдите корни многочлена: а) x^4-17x^2+16=0; б) x^4+15x^2-16+0; в) y^4-2y^3+y^2-36=0; г) y^4-y^2-4y-4=0.

а) x⁴-17x²+16=0;

Замена: х² = t, где t≥0, тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

D = 289-4·1·16=289-64=225=15²

t₁ = (17-15) / 2 = 2/2=1

t₂ = (17+15) / 2 = 32/2=16

Обратная замена:

1) х² = 1

х² - 1 = 0

(х-1) (х+1) = 0

х₁ = - 1; х₂ = 1

2) х² = 16

х² - 16 = 0

(х-4) (х+4) = 0

х₃ = - 4; х₄ = 4

Ответ: {-4; - 1; 1; 4}

б) x⁴+15x²-16+0;

Замена: х² = t, где t≥0, тогда уравнение примет вид:

t² + 15t - 16 = 0

D = 225-4·1· (-16) = 225+64=289=17²

t₁ = (-15-17) / 2 = - 322/2 = - 16 < 0

t₂ = (- 15+17) / 2 = 2/2=1

Обратная замена только t = 1:

х² = 1

х² - 1 = 0

(х-1) (х+1) = 0

х₁ = - 1; х₂ = 1

Ответ: {-1; 1}

в) y⁴-2y³+y²-36=0;

(y⁴-2y³+y²) - 36=0;

((y²) ² - 2·y²·y + y²) - 6² = 0

(y²-y) ² - 6² = 0

Применим формулу разности квадратов: a²-b² = (a-b) (a+b).

(y²-y - 6) (y²-y + 6) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

y²-y - 6 = 0; и y²-y + 6 = 0

Решаем первое.

y²-y - 6 = 0;

По теореме Виета у₁ = 3; у₂ = - 2

Решаем второе.

y²-y + 6 = 0;

D = 1 - 4·1·6 = 1 - 24 = - 23 <0 корней нет

Ответ: {-2; 3}

г) y⁴ - y² - 4y-4 = 0

y⁴ - (y² + 4y+4) = 0

(у²) ² - (y+2) ² = 0

Применим формулу разности квадратов: a²-b² = (a-b) (a+b).

(у² - (у+2)) · (у²+у+2) = 0

(у² - у-2) · (у²+у+2) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

y² - y - 2 = 0; и y² + y + 2 = 0

Решаем первое.

y² - y - 2 = 0;

По теореме Виета у₁ = - 1; у₂ = 2

Решаем второе.

y² + y + 2 = 0;

D = 1 - 4·1·2 = 1 - 8 = - 7 <0 корней нет

Ответ: {-1; 2}