Доказать, что: (х^2+у^2+z^2) ^2=2 (x^4+y^4+z^4), если x+y+z=0.

Возведем обе части равенства x + y + z = 0 в квадрат. Получим (x + y + z) ² = 0 = > (x + y) ² + 2 (x + y) z + z² = 0 = > x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z² = 0 = > x² + y² + z² = - 2 (xy + xz + yz). Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Получим (x² + y² + z²) ² = 4 (xy + xz + yz) ² = 4 ((xy + xz) ² + 2 (xy + xz) yz + y²z²) = 4 (x²y² + 2x²yz + x²z² + 2y²xz + 2z²xy + y²z²) = 4 (x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz (x + y + z)) = 4 (x²y² + x²z² + y²z²), т. к. x + y + z = 0. С другой стороны (x² + y² + z²) ² = ((x² + y²) ² + 2 (x² + y²) z² + z⁴) = x⁴ + 2x²y² + y⁴ + 2x²z² + 2y²z² + z⁴ = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2 (x²y² + x²z² + y²z²). Тогда (x² + y² + z²) ² = 4 (x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2 (x²y² + x²z² + y²z²) = > x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2 (x²y² + x²z² + y²z²). Отсюда получаем требуемое равенство (x² + y² + z²) ² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2 (x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2 (x⁴ + y⁴ + z⁴).