Для любых действительных чисел a, b, c докажите, что:

а) если а + b ≥ 0, то a³ + b³ ≥ a²b + ab²

б) если ab > 0, то

в) если a > 0, b > 0, c > 0, то

если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака

1. a+b>=0

a^3+b^3 > = a^b + ab^2

(a+b) (a^2-ab+b^2) > = ab (a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто

a^2-ab+b^2 > = ab

a^2-2ab+b^2>=0

(a-b) ^2>=0 квадрат всегда больше равен 0

2. ab>0

a/b + b/a >=2

a/b + b/a - 2 >=0

(a^2+b^2 - 2ab) / ab >=0

(a-b) ^2/ab > = 0

ab>0 (a-b) ^2>=0 первое по условию, второе по определению квадрата

3. ab/c + ac/b + bc/a > = a+b+c при a b c >0

(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2) / abc - abc (a+b+c) / abc >=0

знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0

2 (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab) / 2 >=0

умножаем на 2 числитель и знаменатель

(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab) / 2 >=0

(a^2 (b^2-2bc+c^2) + b^2 (a^2-2ac+c^2) + c^2 (a^2-2ab+b^2)) / 2 >=0

(a^2 (b-c) ^2 + b^2 (a-c) ^2 + c^2 (a-b) ^2) / 2 >=0

слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0