Написать уравнение плоскости проходящей через точки P (1,1,-2) и Q (3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0

Написать уравнение плоскости проходящей через точки P (1,1,-2) и Q (3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0.

Если дано уравнение плоскости, то известна нормаль N к этой плоскости: N = (4; - 2; - 1).

Для искомой плоскости нормаль N будет параллельным вектором n.

Точки P (1,1,-2) и Q (3,-2,-1).

Вектор PQ = ((3-1=2; - 2-1=-3; - 1 - (-2) = 1) = (2; - 3; 1).

Составим уравнение плоскости П как плоскости, проходящей через точку Р (1,1,-2) параллельно векторам →PQ (2; - 3; 1) и →n = (4; - 2; - 1).

x - 1 y - 1 z + 2 x - 1 y - 1

2 - 3 1 2 - 3

4 - 2 - 1 4 - 2

∆ = a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

= a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32 - a13•a22•a31 - a11•a23•a32 - a12•a21•a33

∆ = (x - 1) * (-3) * (-1) + (y - 1) * 1*4 + (z + 2) * 2 * (-2) - (z + 2) * (-3) * 4 - (x - 1) * 1 * (-2) - (y - 1) * 2 * (-1) = 4x - 4 + 4y - 4 - 4z - 8 + 12z + 24 + 2x - 2 + 2y - 2 = 6x + 6y + 8z + 4 = 0.

Или, сократив на 2, получаем искомое уравнение плоскости:

3x + 3y + 4z + 2 = 0.