Найдите все значения х>1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел а=log_2 (x) + 2log_x (32-2) и b=41-log2 x больше 5

2

Надеюсь, что задание звучит так, потому что припоминаю что-то знакомое ...

Найдите все значения х>1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел

а=log₂x+2log₎ ₍32-2 и

b=41-log₂²x² больше 5.

Скорее, приписка в задании "наибольшее из двух чисел" говорит нам лишь о том, что стоит составить совокупность двух неравенств для объединения решений, а вычислять, какое из этих чисел a или b будет больше нет смысла.

Тогда имеем:

[a>5 [log₂x+2log₎ ₍32-2>5 (1)

[b>5 [41-log₂²x²>5 (2)

Решаем (1) :

log₂x+2log₎ ₍32-2>5

ОДЗ: x>0, x≠1 x∈ (0; 1) U (1; +∞)

log₂x+10/log₂x-2>5

Замена: log₂x=t

t+10/t-2>5

t+10/t-7>0

(t-2) (t-5) / t>0 = > t∈ (0; 2) U (5; +∞)

{0
{t>5, log₂x>5

{log₂1
{log₂x>log₂32, x>32

Тогда ответ (1) x∈ (1; 4) U (32; +∞)

Решаем (2) :

41-log₂²x²>5

ОДЗ: x>0

-log₂²x²>5-41

-4log₂²x>-36

log₂²<9

|log₂x|<3

[{log₂x<3, x<2³, x<8

[{log₂x≥0, x≥2⁰, x≥1

[

[{-log₂x<3, log₂x>3, x>2⁻³, x>1/8

[{log₂x<0, x<2⁰, x<1

Тогда

[x∈[1; 8)

[x∈ (1/8; 1)

Тогда ответ (2) x∈ (1/8; 8)

Возвращаемся к основной совокупности:

[x∈ (1; 4) U (32; +∞)

[x∈ (1/8; 8)

Учитывая ОДЗ (x>1), получаем, что наибольшее из чисел a и b будет больше 5 при значениях

x∈ (1; 8) U (32; +∞).