К графику функции y=x^2/2 проведены касательные, проходящие через точку M (1/2, - 1) найдите площадь четырехугольника, образованного этими касательными и осями координат

Производная функции у = х²/2 равна (1/2) * 2 х = х.

Уравнение касательной: у (кас) = y' (xo) * (x - xo) + y (xo).

Так как касательная проходит через точку М ((1/2) 4 - 1), то подставим её координаты в уравнение.

-1 = xo ((1/2) - xo) + (xo²/2).

-1 = (xo - 2xo² + xo²) / 2.

Получаем квадратное уравнение:

хо² - хo - 2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D = (-1) ^2-4*1 * (-2) = 1-4 * (-2) = 1 - (-4*2) = 1 - (-8) = 1+8=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

xo_1 = (√9 - (-1)) / (2*1) = (3 - (-1)) / 2 = (3+1) / 2=4/2=2;

xo_2 = (-√9 - (-1)) / (2*1) = (-3 - (-1)) / 2 = (-3+1) / 2=-2/2=-1.

Получили 2 точки касания хo = - 1 и хo = 2.

Определяем уравнения касательных.

ук1 = - 1 (х + 1) + (1/2) = - х - (1/2).

ук2 = 2 (х - 2) + 2 = 2 х - 2.

Находим координаты точки их пересечения:

-х - (1/2) = 2 х - 2,

3 х = 1,5 = 3/2,

х = 1/2, у = - (1/2) - (1/2) = - 1. Точка ((1/2) ; - 1).

Находим координаты точек пересечения касательных с осями координат: с осью Ох пересекается:

- кас (1), при этом у = 0: - х - (1/2) = 0. х = - (1/2),

- кас (2), при этом у = 0: 2 х - 2 = 0. х = 1.

С осью Оу пересекается:

- кас (1), при этом х = 0: у = - 2.

Полученный четырёхугольник разобьём на 2 фигуры: прямоугольная трапеция и прямоугольный треугольник. Их площади равны соответственно S1 и S2.

S1 = (((1/2) + 1) / 2) * (1/2) = 3/8.

S2 = (1/2) * 1 * (1/2) = 1/4 = 2/8.

Тогда искомая площадь S = S1 + S2 = (3/8) + (2/8) = 5/8.