У Васи и Пети по 20 гирь весом 1, 2, 3, ..., 20 кг. Они по очереди подкладывают по одной гире каждый на свою чашу весов, причем первым ходит Вася. Петя выигрывает, если после чьего - либо хода разность масс на чашах будет равна 14. Проигрывает, если такого не произошло, а гири у ребят закончились. Всегда ли Петя сможет выиграть?

Да, Петя выигрывает всегда.

В начальный момент разность весов равна 0 Если Вася кладет гирю веса х и 7≤x≤13, то Петя кладет гирю такого же веса. Т. е. разность весов опять равна 0.

Если Вася положит гирю весом x=14, то он проиграл, т. к. разность весов была 0, а стала 14.

Как только Вася положит гирю с весом x≤6, то Петя кладет гирю весом x+14 и побеждает (т. к. при этом 15≤x+14≤20, то такая гиря у него обязательно есть, ведь до этого они брали гири только из диапазона 7, ...,13).

Аналогично, как только Вася положит гирю весом x≥15, то Петя кладет гирю весом x-14 и побеждает (т. к. при этом 1≤x-14≤6, то такая гиря у него обязательно есть, ведь до этого они брали гири только из диапазона 7, ...,13).

Итак, самая длинная игра выглядит следующим образом: Вася вынужден брать гири только из диапазона 7, ...,13, Петя при этом берет такие же гири, и разность весов все время 0. Это дает им возможность сделать максимум 7 ходов. 8-ым ходом Вася вынужден брать гирю не из этого диапазона, и либо сразу проигрывает, взяв гирю весом 14, либо проигрывает после хода Пети.