При каких значениях a функция f (x) = 2x^3-3 (2+a) x^2++48ax+6x-13 возрастает на области определения?

Если производная положительна на отрезке, то функция возрастает на отрезке.

Найдем у'

y'=6x²-6 (2+a) x+48a+6

Решаем неравенство

6x²-6 (2+a) x+48a+6>0 Разделим неравенство на 6

х² - (2+a) x+8a+1>0

Чтобы данное квадратное неравенство выполнялось при всех х, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным.

D = (2+a) ²-4· (8a+1) = 4+4a+a²-32a-4=a²-28a=a (a-28) <0 ⇒ 0
Ответ. а∈ (0; 28)