Найти три числа, образующие геометрическую погрессию, зная, что сумма их равна 62, а сумма их квадратов равна 2604.

b1+b2+b3=62

b1^2+b2^2+b3^2=2604

b1+b1q+b1*q^2=62

b1^2+b1^2*q^2 + b1^2*q^4=2604

x+xy+xy^2=62

x^2 + (xy) ^2+x^2*y^4=2604

x (1+y+y^2) = 62

x^2 (1+y^2+y^4) = 2604

первое на второе поделим

1+y + y^2 / 1+y^2+y^4=x/42

42 (1+y+y^2) = x (1+y^2+y^4)

42 (1+y+y^2) = x (1+y^2+y^2^2)

42/x = y^2-y+1

{xy^2-yx+x=42

{ x+xy+xy^2=62

{xy^2=42 + yx-x

{ xy^2=62-xy-x

{42+yx-x=62-xy-x

{2yx=20

{yx=10

{y=10/x

{x+xy+xy^2=62 ставим

{ x+10+100/x=62

{x^2+10x-62x+100=0

{ x^2-52x + 100 = 0

x=2

x2=50

значит b1=2 and b1=50

q=5

q=1/5 убывающая

значит b1=2

b2=10

b3=50

Проверим 50^2+10^2+2^2 = 2604

Ответ

b1=2

b2=10

b3=50

Можно решать и не выписывая в явном виде все через первый член и q.

Пусть числа a, b, c.

a^2+b^2+c^2=2604

a+b+c=62

Известно, что для геом прогрессии b^2 = ac

Возведем в квадрат второе уравнение.

a^2+b^2+c^2+2 (ab+ac+bc) = 3844

ab+ac+bc=620

b (a+c) + ac=620

b (62-b) + b^2=620

62b=620

b=10

Для определения оставшихся чисел можно решить систему

a+c=62-b=52

ac=b^2=100

По т. Виета a, c - корни квадратного уравнения t^2-52t+100=0. Отсюда a, c = 2, 50.

Ответ: 2, 10, 50.