AE - биссектрисса угла А треугольника АВС. Известно, что АЕ=ЕС. Найдите углы треугольника АВС, если АС=2 АВ

АЕ = ЕС ⇒ ∠ЕАС = ∠ЕСА, обозначим их α.

Пусть АВ = а, тогда АС = 2 а.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда

ВЕ: ЕС = АВ: АС = 1:2

Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2 х.

В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:

cosα = (AE² + AC² - EC²) / (2AE·AC)

cosα = (4x² + 4a² - 4x²) / (8ax) = a / (2x)

В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:

cosα = (AB² + AE² - BE²) / (2AB·AE)

cosα = (a² + 4x² - x²) / (4ax) = (a² + 3x²) / (4ax)

(a² + 3x²) / (4ax) = a / (2x)

a² + 3x² = 2a²

a² = 3x²

a = x√3

cosα = a / (2x) = x√3 / (2x) = √3/2 ⇒ α = 30°

∠ВСА = 30°

∠ВАС = 60° ⇒ ∠АВС = 90°