Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^5+5x^4-10x^3+3

Чтобы найти экстремумы, надо найти первую производную от функции и приравнять её к нулю. Где она равна 0, там и экстремумы. Потом берём вторую производную и смотрим какой знак она имеет в точке экстремума. Если больше нуля, значит это точка минимума, если меньше нуля, значит это точка максимума.

первая производная равна: 10x^4+20x^3-30x^2. Приравниваем к нулю и ищем корни уравнения: 10x^4+20x^3-30x^2=0; Разделим уравнение на x^2, получим: 10x^2+20x-30=0; Решаем квадратное уравнение:

D=20^2 - (4*10 * (-30)) = 1600;

x1 = (-20+40) / 20=1

x2 = (-20-40) / 20=-3

Берём вторую производную: 40x^3+60x^2-60x подставляем найденные корни и смотрим на знак. x1=1) 40*1^3+60*1^2-60*1=40 это больше нуля, значит в точке x1=1 локальный минимум исходной функции.

x2=-3) 40 * (-3) ^3+60 * (-3) ^2-60 * (-3) = - 360 это меньше нуля, значит в точке x2=-3 локальный максимум исходной функции.

Значит исходная функция от - бесконечности до - 3 возрастает, от - 3 до 1 убывает, и от 1 до + бесконечности снова возрастает.