Решите уравнение sinx + cos2x=1 + sinx * cos2x

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (0, П)

Перенесем все слагаемые в правую часть

0 = 1 - sin (x) + sin (x) * cos (2x) - cos (2x),

0 = (1 - sin (x)) + cos (2x) * (sin (x) - 1) ;

0 = (1 - sin (x)) - cos (2x) * (1-sin (x)) ;

0 = (1-sin (x)) * (1-cos (2x))

1) 1 - sin (x) = 0, или 2) 1-cos (2x) = 0;

1) sin (x) = 1, x = (п/2) + 2 пn, где n - пробегает все целые числа.

2) cos (2x) = 1, 2x = 2 пm, где m - пробегает все целые числа.

x = пm.

Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку (0; п).

1) 0< (п/2) + 2 пn<п, 0< (1/2) + 2n<1; - (1/2) <2n<1/2, - 1/4
но n - целое. Единственное целое число, удовлетворяющее последнему двойному неравенству это n = 0;

x = (п/2) + 2 п*0 = п/2.

2) 0<пm<п; 0
Ответ. п/2.

Sinx+cos2x-1-sinxcos2x=0

(sinx-1) - cos2x (sinx-1) = 0

(sinx-1) (1-cos2x) = 0

sinx-1=0⇒sinx=1⇒x=π/2+2πk. k∈z

0≤π/2+2πk≤π

0≤1+4k≤2

-1≤4k≤1

-1/4≤k≤1/4

k=0πx=π/2

1-cos2x=0⇒cos2x=1⇒2x=2πk⇒x=πk, k∈z

0≤πk≤π

0≤k≤1

k=0⇒x=0

k=1⇒x=π

Ответ x={0; π/2; π}