5 (sinx+cosx) + 1+sin2x=0

5 (sin (x) + cos (x)) + 1+sin (2x) = 0

5 (sin (x) + cos (x)) + sin (x) ^2+2sin (x) cos (x) + cos (x) ^2=0

5 (sin (x) + cos (x)) + (sin (x) + cos (x)) ^2=0

Отсюда имеем:

sin (x) + cos (x) = 0 или 5+sin (x) + cos (x) = 0

1) sin (x) + cos (x) = 0

sin (x) = - cos (x)

tg (x) = - 1

x=-π/4+πn, n∈Z

2) 5+sin (x) + cos (x) = 0

sin (x) + cos (x) = - 5

Очевидно, что это уравнение решений не имеет, исходя из области значений функций sin (x) и cos (x).

Ответ: x=-π/4+πn, n∈Z