Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых y=3x-1; у=2 х+5; y=11x+23

1) Вычислим координаты вершин треугольника ABC.

Точка А пересечения прямых y = 3x - 1, y = 2x + 5

2x + 5 = 3x - 1

x = 6

y = 2*6 + 5 = 17

A (6; 17)

Точка B пересечения прямых y = 3x - 1, y = 11x + 23

11x + 23 = 3x - 1

8x = - 24

x = - 3

y = 3 * (-3) - 1 = - 10

B (- 3; - 10)

Точка C пересечения прямых y = 2x + 5, y = 11x + 23

11x + 23 = 2x + 5

9x = - 18

x = - 2

y = 2 * (- 2) + 5 = - 4 + 5 = 1

C (- 2; 1)

2) Найдём длину стороны АВ треугольника:

AB = √ ((-3-6) ² + (-10-17) ²) = √ (81 + 729) = √810 = 9√10

3) Вычислим высоту треугольника. Если дано уравнение прямой

ax + by + c = 0 и координаты точки С (х ₀; у ₀), то расстояние

от точки С до прямой находится по формуле:

h = Iax ₀ + by ₀ + cI / √ (a ² + b ²)

Уравнение прямой АВ: у = 3 х + 1 или 3 х - у + 1 = 0

a = 3, b = - 1, c = 1

Координаты точки С (-2; 1).

h = I 3 * (-2) + (-1) * 1 + 1I = I-6I = 6

Найдём площадь треугольника по формуле:

S = ½*AB*h

S = ½*9√10 * 6 = 27√10