Докажите что при любом натуральном n значение выражения 7^n*2^3n-3^2n кратно 47

Упростим данное выражение:

7ⁿ · 2³ⁿ - 3²ⁿ =

= 7ⁿ · (2³) ⁿ - (3²) ⁿ =

= 7ⁿ · 8ⁿ - 9ⁿ =

= (7 · 8) ⁿ - 9ⁿ =

= 56ⁿ - 9ⁿ

Для полученного выражения (56ⁿ - 9ⁿ) применим формулу сокращённого умножения для n-ой степени:

aⁿ - bⁿ = (a - b) ((aⁿ⁻¹+aⁿ⁻² b+aⁿ⁻³b² + ... + a ²bⁿ⁻³+a bⁿ⁻² + bⁿ⁻¹)

Разложим (56 ⁿ - 9ⁿ) на множители:

56 ⁿ - 9ⁿ =

= (56-9) (56ⁿ⁻¹+56ⁿ⁻²·9+56ⁿ⁻³·9² + ... + 56²·9ⁿ⁻³+56·9ⁿ⁻²+9ⁿ⁻¹) =

= 47 · (56ⁿ⁻¹+56ⁿ⁻²*9+56ⁿ⁻³*9² + ... + 56²*9ⁿ⁻³+56*9ⁿ⁻²+9ⁿ⁻¹).

Один из сомножителей делится на 47, значит и все произведение делится на 47, что и требовалось доказать.