Кубик подбрасывают 4 раза. найти вероятность выпадания 6 очков 3 раза?

В задаче необходимо найти вероятность события: выпало 6 очков обозначим за A в серии из 4 испытаний не менее 3 раз. Т. е. нужно найти вероятность двух событий выпадения 6 очков в 3-х испытаниях - обозначим как событие B и в 4-х испытаниях - обозначим как событие C серии. Все испытания у нас независимые. Согласно Классического определения вероятности Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. В нашем случае всего 6 возможных исходов (6 граней у кубика n=6) и 1 благоприятствующее (m=1), т. е. вероятность события A равна p (A) = m/n=1/6. Для нахождения вероятности наступления события A в серии независимых испытаний применим формулу Бернулли

Pn, k=Cknpkqn-k

где n - независимые испытания n=6, k - количество наступивших событий (3 или 4 раза выпало 6 очков, т. е. два случая m=3 событие B, m=4 событие C), p - вероятность наступления события A, где p (A) = 16, q=1-p=1-16=56 - вероятность противоположного события (т. е. выпало количество очков не равное 6). Подставим в формулу Бернулли

P (B) 4,3=C34 (1/6) 3 (5/6) 4-3=4!3! (4-3) !1/6^3*5^6=20/6^4

P (C) 4,4=C44 (1/6) ^4 * (5/6) ^4-4=1/6^4

получили две вероятности - наступления событий B и C. Для нахождения вероятности события P (B+C применим теорему сложения вероятностей. Т. к. события не зависимые, то

P (B+C) = P (B) + P (C)

подставим значения

P (B+C) = P (B) 4,3+P (C) 4,4=20/6^4+1/6^4=21/6^4=6/432=1/72

Ответ: вероятность выпадения в серии из 4-х испытаний 6 очков не менее 3-х раз равна P (B+C) = 1/72