Существуют ли попарно различные вещественные числа a, b, c, такие, что (a-b) ^5 + (b-c) ^5 + (c-a) ^5=0?

Нет, не существуют. Простым раскрытием скобок легко проверить, что для любых x, y, z верно равенство x^5+y^5 - (x+y) ^5=-5xy (x+y) (x^2+xy+y^2).

Тогда, если обозначить x=a-b≠0, y=b-c≠0, z=c-a≠0, то имеем z = - (x+y) и

(a-b) ^5 + (b-c) ^5 + (c-a) ^5=x^5+y^5+z^5=x^5+y^5 - (x+y) ^5=-5xy (x+y) (x^2+xy+y^2) =

=5xyz (x^2+xy+y^2). Т. к. x^2+xy+y^2>0 для всех x и y, и x, y, z≠0, то все выражение никогда не равно 0.