Докажите неравенство: b (a^2+1) + a (b^2+1) ≥ 4ab

Если a>0 и b>0, то доказать можно. Например, если a=-1 и b=-1, то неравенство не выполняется: слева отрицатнльное число, справа - положительное.

Доказываем, для положительных a и b. Раскрываем скобки и переносим 4ab из правой части в левую:

b a^2 + b + a b^2 + a - 4ab > = 0

Выражение (-4ab) разобъём на 2, т. е. (-4ab) = - 2ab - 2ab и сгруппируем члены:

(b a^2 - 2ab + b) + (a b^2 - 2ab + a) > = 0

b (a^2 - 2ab + 1) + a (b^2 - 2ab + 1) = b (a-1) ^2 + a (b-1) ^2 >=0

Как видно, если a и b положительные, то неравенство выполняется.