На концерт пришли 125 человек, причём каждый был знаком ровно с 10 другими. В перерыве некоторые слушатели ушли. Оказалось, что все оставшиеся по прежнему имеют в зале одинаковое количество знакомых. Докажите, что среди ушедших были знакомые друг с другом.

Тк каждый знаком ровно с 10 людьми, то общее число знакомых пар равно: N=125*10/2, (делим на 2 Тк если суммировать по группам по 10, то знакомые пары будут встречаться повторно, то есть первый знает второго и второй знает первого) Предположим, что из ушедших людей нет знакомых, тогда очевидно, что число знакомых пар уменьшиться на 10*x, где x-число ушедших людей. (Надеюсь ясно). Пусть m - одинаковое число знакомых, которое знает каждый из оставшихся людей (по условию). Ясно, что 0 < m <10. Тк число оставшихся знакомых пар будет равно: m * (125-x) / 2 Тогда верно равенство: 125*10/2 - 10*x = m * (125-x) / 2 1250-20*x=125*m-m*x 1250=125*m+20*x-mx 1250 = (125-x) * (m-20) + 20*125 - 1250 = (125-x) * (m-20) 1250 = (125-x) * (20-m) 1250=5^4 * 2 Тк 125-x<5^4=625, то 20-m кратно 5. 10 <20-m <20. Тогда 20-m=15, что кратно 3, но 1250 не делиться на 3. То есть мы пришли к противоречию. Значит среди ушедших есть знакомые.