Докажите, что если p - простое число и p>=5, то при делении p^2 на 12 в остатке получится 1

Воспользуемся известной теоремой: любое простое число, большее 3, можно представить либо в виде Р = 6 К - 1, либо в виде Р = 6 К + 1.

Учитывая это, имеем: Р^ = (6K + / - 1) ^ = 36K^ + / - 12K + 1 = 12K (3K + / - 1) + 1

А эта запись и означает, что при делении Р^ на 12 в остатке получим 1.

Если указанная выше теорема Вам не известна, то докажем и её.

При делении любого натурального числа на 6, возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Значит любое натуральное число возможно представить одним из видов 1) n=6k, 2) n=6k+1, 3) n=6k+2, 4) n=6k+3, 5) n=6k+4 и 6) n=6k+5.

Легко заметить, что 1), 3), 4) и 5) представления составные числа. Значит для простых чисел остаются два варианта: 2) - ое и 6) - ое. Последнее можно преобразовать: 6 к+5 = 6 к+6 - 1 = 6 (к+1) - 1 = 6m-1. И так, если Р простое число, большее 3, то оно запишется либо в виде 6n-1, либо 6n+1.