При каких значениях параметра а прямая у=а не имеет ни одной обшей точки с графиком функции у = (ctg^2x+6) / (4ctgx+2)

Задание можно переформулировать так: при каких значениях параметра a уравнение (ctg² x+6) / (4ctgx+2) = a не имеет решений.

ОДЗ: ctgx ≠-1/2

ctg ²x+6=a (4ctgx+2)

ctg²x-4a*ctgx+6-2a=0

ctgx=t

t²-4at+6-2a=0

D=16a²-4 (6-2a) = 16a²+8a-24

Для того чтобы квадратное уравнение не имело решений дискриминант должен быть отрицателен:

16a²+8a-24<0

a∈ (-3/2; 1)

Это не полное решение. Теперь нужно проверить будет ли t=-1/2 - корень не попадающий в одз - решением уравнения при каких нибудь a, ведь если этот корень будет еще и единственным, то такие а нам подходят. Для этого просто подставляем в уравнение - 1/2 вместо t и убеждаемся что такого не будет, а значит этот случай далее рассматривать не надо.

Ответ: - 3/2