Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от А до точки касания равно 16, а до одой из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

Пусть точка О - центр окружности, точки пересечения секущей с окружностью В (ближняя к А) и С (дальняя от А), и точка касания (касательной) D. По теореме (или свойству, я уже не помню) о касательной и секущей, имеем AD*AD=AB*AC. У нас AD=16, AC=32, тогда АВ=8 и ВС=32-8=24 см. Проведем радиусы ОВ и ОС. Получим равнобедренный треугольник ОВС. Проведем в нем высоту ОК (она же и медиана и биссектриса). Получатся два прямоугольных треугольника. Очевидно, что ВК=КС=12. По условию, ОК=5. Из треугольника ОКВ по Пифагору получаем ОВ=13.