Передние колёса роликовых коньков приходят в негодность после 300 км пробега, а задние - после 500 км. Диме подаили новые роликовые коньки. После скольких километров пробега ему нужно поменять местами задние и передние колёса, чтобы они прослужили одинакого долго?

Предположим, что скорость движения Димы составляет v = 1 км/ч, а колесо роликовых коньков весит 1 кг (при всей видимой несуразности таких предположений, выбор этих чисел не должен повлиять на ответ). Тогда в течение 1 часа передние колеса стираются на 1/300 кг, а за x часов - на x/300 кг (за 300 часов - на 1 кг, т. е. полностью). Передние колеса проехали до замены t1 часов. Следовательно, каждое из них стерлось на вес, равный t1 * (1/300) кг. После перестановки колес они проехали еще t2 часов в качестве задних колес, и стерлись еще на t2 * (1/500) кг. После прохождения времени t1+t2 все колеса стерлись полностью (потеряли в весе 1 кг) - истек срок их службы. Отсюда следует уравнение:

t1 * (1/300) кг + t2 * (1/500) кг = 1 кг

Аналогично, для другой пары колес, которые сначала были задними, а затем стали передними, получаем второе уравнение:

t2 * (1/500) кг + t1 * (1/300) кг = 1 кг

Решая оба уравнения находим, что t1 = t2 = 187,5 ч. Время t1 - это время, прошедшее до замены колес. За это время Дима проедет v*t1 = 1 км/ч * 187,5 ч = 187,5 км.

Ответ: Диме нужно поменять колеса местами после 187,5 км пробега.