Укажите номер наибольшего члена последовательности xn = (n-1) / (n^2+5), если n - натуральное число, меньшее 2015. Если таких членов несколько, то в ответе сумму их номеров.

Рассмотрим функцию f (t) = (t - 1) / (t^2 + 5). Она определена и непрерывна вместе со всеми производными на всей действительной оси.

f' (t) = ((t^2 + 5) - 2t (t - 1)) / (t^2 + 5) ^2 = (6 - (t - 1) ^2) / (t^2 + 5) ^2

f' (t) > = 0 при 1 - sqrt (6) < = t < = 1 + sqrt (6) - на этом отрезке она возрастает, вне него - убывает.

Тогда xn возрастает при n 1 + sqrt (6). Так как 3 < 1 + sqrt (6) < 4, то на роль максимального претендуют x3 и x4.

x3 = (3 - 1) / (3^2 + 5) = 2/14 = 1/7

x4 = (4 - 1) / (4^2 + 5) = 3/21 = 1/7

x3 = x4, значит, членов с максимальными значениями 2: n = 3 и n = 4. В ответ пойдёт 3 + 4 = 7.