При каком значении p вершины парабол y=x^2 - 4px + p и y=-x^2 + 8px + 4 расположены по одну сторону от оси x

Для того, чтобы вершины были расположены по одну сторону от оси абсцисс, ординаты этих вершин должны быть одного знака

Пусть (x1, y1) - вершина y = x^2-4px+p

(x2, y2) - вершина y=-x^2+8px+4

1) y = x^2-4px+p

x1 = 4p / 2 = 2p

y (x1) = 4p^2-8p^2+p=-4p^2+p

2) y = - x^2+8px+4

x2 = - 8p/-2=4p

y (x2) = - 16p^2+32p^2+4=16p^2+4

3) Получим систему

-4p^2+p > 0

16p^2+4 > 0

а) - 4p^2+p > 0

p (-4p+1) > 0

p > 0 p<0

-4p+1 > 0 - 4p+1<0

p > 0 p<0

p1/4

0 < p < 1/4 нет решений

б) 16p^2+4 > 0

4 (4p^2+1) >0

4p^2+1>0 при x ∈ R

3) общее решение:

0
При всех p, принадлежащих данному промежутку, вершины парабол будут расположены по одну сторону от оси x (в данном случае - выше)

Если нужно конкретное значение, то, например p = 1/8