Найдите все такие натуральные k, что при любом нечётном n>200 число 19^n+18^n делится на k. Укажите наибольший возможный вариант.

Пусть а=18²⁰¹, b=19²⁰¹. Если a+b делится на k,

то a=rk-b при некотором r, а значит

18²⁰³+19²⁰³=18²a+19²b=18² (rk-b) + 19²b=37b+18²rk. Т. к. оно тоже должно делиться на k, то получаем, что 37b делится на k. Аналогично, 37 а должно делиться на k. Т. к. а и b взаимно просты, то k может быть только 37. Ну и понятно, что 18ⁿ+19ⁿ при любом нечетном n всегда делится на 18+19=37. Так что ответ k=37.