Когда пишется период у sin (cos, tg, ctg) 2 Пn или Пn, как можно проще запомнить?

например sinx=0 x=0+Пn, a sinx=1/2 x=П/6 или 5 П/6 + 2 Пn?

Смотрите: у синуса и косинуса период всегда равен 2 П. А запись решения у них иногда меняется: т. к. идет объединение нескольких решений.

Например:

sinx=0 - нужно выбрать все точки, где вторая координата (у, ордината) равна 0. Таких точек 2: это 0 и П. Можем записать два решения:

х=0+2 Пк

х = П+2 Пк

А теперь объединим оба решения в одно: становимся в точку 0, и смотрим, на сколько нужно повернуться, чтобы попасть в точку П? Нужно повернуться как раз на П. И далее: как из П попасть в точку 0 - повернувшись на П, и т. д. Отсюда получается объединенное решение: х = Пк

У тангенса и котангенса период всегда равен П.

У sin и cos период 2 Пn, а у tan cot - Пn в общих формулах

На деле просто нужно разобраться в этом. Понять общую концепцию. Наверное проще всего работать с единичной окружностью. Понять, что и в каких четвертях отрицательно/положительно. Далее, исходя из собственных размышлений будет легко получаться определять любой случай.