424. Разложите на множители а³-9 а²+27 а-19

Объясните ход решения

Есть такая формула ФСУ под названием куб разности:

(a-b) ^3 = a^3 - 3a^2*b + 3ab^2 - b^3

Смотрим на выражение:

a^3-9a^2+27a-19 = a^3 - 3*a^2*3 + 3*a*9 - 19

Чтобы свернуть в формулу, необходимо чтобы последний член выражения был равен - 27 (3^3). Вычтем и прибавим это число:

a^3 - 3*a^2*3 + 3*a*9 - 19 - 27 + 27 = (a-3) ^3 - 19+27 = (a-3) ^3+8

Получили формулу суммы кубов (8=2^3), упрощаем:

(a-3+2) ((a-3) ^2-2 (a-3) + 4)) = (a-1) (a^2-6a+9-2a+6+4) = (a-1) (a^2-8a+19)