A^2006 + 1/a^2006 если a^2 - a + 1 = 0. Что нужно знать чтобы решить?

A²-a+1=0

D=1-4=-3

a₁ = (1-i√3) / 2 или a₂ = (1+i√3) / 2

корни комплексные.

a₁a₂=1 ⇒ a₁=1/a₂; a₂=1/a₁.

Применяем тригонометрическую форму записи

комплексного числа

a₁ = (1-i√3) / 2=cos (-π/3) + isin (-π/3)

Применяем формулу Муавра

(a₁) ²⁰⁰⁶ = ((1-i√3) / 2) ²⁰⁰⁶=cos (-π·2006/3) + isin (-π·2006/3) =

=cos (-668π + (-2π/3)) + isin (-668π + (-2π/3)) =

=cos (-2π/3) + isin (-2π/3).

1 / (a₁²⁰⁰⁶) = (1/a₁) ²⁰⁰⁶ = (a₂) ²⁰⁰⁶=cos (π·2006/3) + isin (π·2006/3) =

=cos (2π/3) + isin (2π/3).

(a₁) ²⁰⁰⁶ + (1/a₁) ²⁰⁰⁶ = (a₁) ²⁰⁰⁶ + (a₂) ²⁰⁰⁶=cos (-2π/3) + isin (-2π/3) + cos (2π/3) + isin (2π/3) = cos (2π/3) + cos (2π/3) = (1/2) + (1/2) = 1

(a₂) ²⁰⁰⁶ + (1/a₂) ²⁰⁰⁶ = (a₂) ²⁰⁰⁶ + (a₁) ²⁰⁰⁶=1