Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в (1+r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого (25) года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого нужно продавать ценные бумаги строго в конце двадцать первого (21) года. При каких положительных значениях r это возможно?

В пенсионном фонде за год t ценные бумаги увеличиваются в цене в t^2 / (t - 1) ^2 = (1 + 1 / (t - 1)) ^2 раз. Видно, что относительное увеличение стоимости замедляется с каждым следующим годом. Продавать бумаги и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост за год (а значит, и за все последующие года) станет больше.

По условию продавать бумаги надо в конце 21 года, значит, за 21 год прирост стоимости ценных бумаг ещё больше банковского процента, а в 22-м году уже нет. Записываем:

(21-й год) 21^2/20^2 > 1 + r

(22-й год) 22^2/21^2 < 1 + r

22^2/21^2 < 1 + r < 21^2/20^2

43/441 < r < 41/400